Worldviews Discussion Paper

De stelling van Tellegen
Een energetische visie op de werkelijkheid

Hubert Van Belle

In de analytische visie wordt de werkelijkheid beschouwd als een systeem bestaande uit een aantal interagerende deelsystemen. Het gedrag van een (deel-)systeem wordt in de blackbox-benadering gekenmerkt door relaties tussen input-, output- en toestandsveranderlijken. De toestandsvariabelen geven de invloed van het verleden op het heden weer en bepalen het tijdsafhankelijk gedrag tengevolge van de geheugeneigenschappen van het systeem. De interactie tussen de deelsystemen wordt door verbindingsvoorwaarden beschreven. Men beschouwt de werkelijkheid dan ook als een constructie bestaande uit onderling verbonden bouwstenen. Daarbij wordt aangenomen dat de relaties die de werkelijkheid kenmerken kunnen ontbonden worden in relaties die het gedrag van de bouwelementen en van hun verbindingen afzonderlijk kenmerken. Het gaat dus om een reductionistische benadering die zich echter niet beperkt tot het in rekening brengen van de delen maar ook aandacht geeft aan de wederzijdse beïnvloedingen. In deze visie wordt de meerwaarde van het geheel t.o.v. de delen toegeschreven aan de interacties. We richten ons hier in de eerst plaats op de interacties en laten de eigenschappen van de blackboxes zoveel mogelijk buiten beschouwing. De verbindingsvoorwaarden geven aan fysische systemen hun structuur en samenhang en maken door de wederzijdse wisselwerking het samenspel van de elementen mogelijk.

Bij fysische systemen kan men twee soorten van verbindingsvoorwaarden onderscheiden en komen de veranderlijken in paren voor die met de verbindingsvoorwaarden overeenstemmen. In elektrische netwerken onderkent men bijvoorbeeld stromen en spanningen en de stroom- en spanningswetten van Kirchhoff. Het is duidelijk dat voor wat de verbindingsvoorwaarden betreft, de stromen en spanningen onafhankelijk van elkaar zijn. Bij mechanische structuren heeft men met krachten en verplaatsingen, momenten en hoekrotaries en evenwichts- en verenigbaarheidsvoorwaarden te doen. Deze verbindingsvoorwaarden geven in feite de continuïteit van de variabelen in de ruimte aan. De twee types veranderlijken worden soms "door-" en "over-" veranderlijken, trans- en intervariabelen of "efforts" en "flows" genoemd. In een hydraulische analogie kan men van stoomdebieten en niveauverschillen spreken. Het in paren optreden van de veranderlijken maakt het mogelijk om het energiebegrip in te voeren en energie (of vermogen) te definiëren als het product van beide soorten veranderlijken. Het is ook belangrijk op te merken dat de verbindingsvoorwaarden voor netwerken en structuren een lineaire vorm hebben of gemakkelijk in een lineaire differentiaalvorm kunnen gebracht worden. Deze eigenschap leidt tot zeer algemene energiestellingen zoals de stelling van Tellegen en de analoge stelling der virtuele arbeid.

In de analytische methodes voor het berekenen van het gedrag van systemen wordt de analysefase gevolgd door een synthesefase. De wiskundige modellen voor de afzonderlijke elementen en hun verbindingen worden met elkaar gecombineerd en uitgewerkt. De wijze waarop de verbindingsvoorwaarden gemodelleerd en ingevoerd worden leidt tot twee uiteenlopende formuleringen van het probleem. In de niet-energetische, vectoriële benaderingen worden de verbindingsvoorwaarden direct toegepast. Deze methodes gaan historisch terug tot Newton en de wetten van de statica en dynamica. De energetische, scalaire benaderingen volgen uit het werk van Leibnitz, Lagrange en Euler en de variationele tak van de mechanica. De energetische methodes maken gebruik van energiestellingen zoals de stelling der virtuele arbeid. Deze weinig begrepen stelling speelt een grote rol bij het berekenenen van de stabiliteit van mechanische structuren zoals gebouwen en constructies. De stelling van Tellegen die oorspronkelijk voor elektrische netwerken geformuleerd werd, kan beschouwd worden als de basisstelling van de energetische methodes. Ze werd veralgemeend voor mechanische structuren en door het invoeren van een abstract energiebegrip uitgebreid voor systemen in het algemeen. Merk op dat het energiebegrip het mogelijk maakt om het gedrag van netwerken en structuren globaal en compact te karakteriseren. Met behulp van de inwendige energie bijvoorbeeld kan men de toestand van een systeem door één getal weergeven dat rekening houdt met uiteenlopende vormen van energie-opslag. Het energiebegrip komt in verschillende takken van de (toegepaste) wetenschap voor en slaat door zijn multidisciplinair karakter een brug tussen de verschillende vakgebieden. Merk op dat het energieconcept vrij goed kan vergeleken worden met het geldbegrip en de energetische benadering met de financieel-economische aspectvisie op de wereld.

De stelling van Tellegen is gebaseerd op de verbindingsvoorwaarden voor elektrische netwerken nl. de stroomwet en de spanningswet van Kirchhoff. Aan de karakteristieken van de elementen zijn geen speciale eisen opgelegd. De elementen mogen lineair of niet lineair zijn, een tijdsinvariant of tijdsvariërend gedrag vertonen en een actief of passief karakter hebben. In de stelling van Tellegen toont men aan dat indien de stroom- en spanningsverdelingen aan de wetten Kirchhoff beantwoorden, de door de bronnen toegevoerde energie volledig in de passieve elementen terug te vinden is. Men stelt dus in deze schijnbaar evidente stelling dat de energiebalans sluitend is en dat de verbindingen geen energie opnemen. De stelling blijft echter geldig indien men de stromen op een bepaald ogenblik beschouwt en de spanningen op een ander ogenblik in rekening brengt. Dit is eveneens het geval indien men de stromen van een gegeven netwerk met de spanningen van een ander, toegevoegd netwerk combineert. Men bekomt een toegevoegd netwerk door de elementen van het gegeven netwerk te wijzigen maar de topologie te behouden. Dit laatste sluit echter niet uit dat bepaalde takken die in lussen voorkomen, weggelaten worden Het toegevoegd netwerk heeft dan ook nog zeer weinig te maken met het gegeven netwerk. In deze gevallen heeft men eigenlijk niet meer met een balans van energie maar van pseudo-energie te doen. Dat de stelling van Tellegen voor situaties op verschillende ogenblikken en met gewijzigde netwerken geldig blijft is veel minder voor de hand liggend maar toch nog eenvoudig te bewijzen. Door een gepaste keuze van een toegevoegd netwerk kan men de oplossing van een aantal problemen sterk vereenvoudigen. De theorie der toegevoegde netwerken biedt bijvoorbeeld zeer elegante oplossingen voor het berekenen van de invloed van lokale wijzigingen op het gedrag van het geheel (gevoeligheidsanalyse).

De stelling van Tellegen kan in verschillende vormen gebracht worden. Alle zogenaamde Kirchhoff-operatoren die het lineair karakter van de verbindingsvoorwaarden onaangetast laten kunnen erop toegepast worden. Dit leidt bijvoorbeeld tot de differentiaal- en integraalvormen van de stelling. Men kan de stelling van Tellegen ook formuleren voor abstracte energievormen zoals "content" en "co-content". In een andere vorm drukt de stelling van Tellegen de ortogonaliteit van de spannings- en stroomvectoren uit. Het begrip ortogonaliteit stamt uit de meetkunde en wijst erop dat de twee vectoren "rechthoekig" t.o.v. elkaar staan in de meer-dimensionale vectorruimte van stromen en spanningen. Hun scalair product is dus steeds gelijk aan nul. Het is dus duidelijk dat de stelling van Tellegen een invariantie uitdrukt. Daar de ortogonale relatie behouden blijft onder verschuivingen in de tijd en bij wijzigingen van elementen kan men bovendien van symmetrieën spreken.

Uit de stelling van Tellegen kan men een groot aantal eigenschappen van netwerken afleiden. Dit is bijvoorbeeld het geval voor de wet van behoud van energie of de eerste hoofdwet. Waar de stelling van Tellegen zich in de eerste plaats tot de energieverdeling tussen de elementen in de ruimte richt, benadrukt de eerste hoofdwet de veranderingen van toestand in de tijd tengevolge van energie-opslag. De toename van inwendige energie komt overeen met het verschil tussen de energietoevoer en het warmteverlies. Daarbij kan genoteerd worden dat de verandering van inwendige energie onafhankelijk is van het traject dat tijdens de evolutie van de begin- naar de eindtoestand gevolgd wordt. Dit volgt uit de stelling van Tellegen in integraalvorm en de wiskundige eigenschappen van totale differentialen. De differentiaalvergelijkingen die de toestandsveranderingen beschrijven bevatten termen die exact integreerbaar zijn. Het blijkt ook mogelijk om een entropiewet of tweede hoofdwet voor netwerken uit een veralgemeende vorm van de stelling van Tellegen af te leiden. De entropie van een netwerk zonder bronnen neemt toe in functie van de tijd. Het is verder eveneens mogelijk om aan te tonen dat een gevolg niet voor de oorzaak kan optreden. Dit zou er op kunnen wijzen dat men asymmetrieën uit symmetrieën kan afleiden.

Zoals reeds opgemerkt werd, wordt de stelling van Tellegen bewezen uitgaande van de verbindingsvoorwaarden. Men kan zich nu ook afvragen of het mogelijk is om de verbindingsvoorwaarden uit de stelling van Tellegen af te leiden. Het is bekend dat men uit de stelling van Tellegen en de spanningswet van Kirchhoff de stroomwet kan afleiden. Ook de spanningswet kan uit de stelling van Tellegen en de stroomwet afgeleid worden. Door het invoeren van een goedgekozen toegevoegd netwerk wordt het echter mogelijk om uitgaande van de stelling van Tellegen aan te tonen dat de verbindingsvoorwaarden lineair zijn en dat ze de vorm van de wetten van Kirchhoff aannemen. Zonder het invoeren van een toegevoegd netwerk lijkt het bewijs onmogelijk. Dit bewijs wijst erop dat men de theorie der toegevoegde netwerken i.p.v. de verbindingswetten als uitgangspunt voor uitbouwen van de netwerk- en structuur-theorieën kan nemen. Men kan de energiestellingen dan ook als leidende principes beschouwen.

We hebben er reeds op gewezen dat de verbindingsvoorwaarden een lineair karakter hebben . Bovendien vertonen ze in de verschillende domeinen van de (toegepaste) wetenschap een grote overeenkomst en lijken ze samen te spannen. Deze merkwaardige analogie laat een uitbreiding van de stelling van Tellegen naar andere domeinen en naar multidisciplinaire systemen toe. De bondgrafenmethode is op dit inzicht gebaseerd. Men kan zich de vraag stellen of deze analogie eerder "toevallig" is of uit algemeen geldende principes volgt. De totaliteit blijkt algemene eisen van continuïteit op te leggen waaraan de verbindingsvoorwaarden moeten voldoen. Deze eisen kunnen vertaald worden in energiewetten, invarianten en symmetrie-eigenschappen. Er blijken ook bepaalde efficiëntieprincipes werkzaam te zijn. Vroeger sprak men over het principe van minimum actie of de wet van de kleinste werking. Men kan aantonen dat voor elektrische netwerken waarvan de elementen een "positief" gedrag vertonen de energie-content minimaal is als de wetten van Kirchhoff voldaan zijn. Een duale stelling geldt voor de co-content. Analoge eigenschappen gelden ook in de sterkteleer en bepalen de stabiliteit van mechanische structuren. Het streven naar minima speelt een grote rol in de energetische benaderingen. Een mechanisch systeem bijvoorbeeld streeft naar een toestand van minimum potentiële energie. Het is "alsof" het systeem een doelgericht gedrag vertoont. De systeemtheorie onderkent dan ook het bestaan van normatieve systemen die doelstellingen nastreven. Het doelstellingsbegrip maakt het o.i. mogelijk om de rol van die het energiebegrip in de exacte wetenschappen speelt te veralgemenen en over te nemen bij de menswetenschappen. Dit alles is een sterke indicatie voor een zekere samenhang in het geheel die door eisen van de totaliteit bepaald wordt.

Merkwaardig is ook het succes van de hydraulische analogie. Deze analogie speelt een grote rol in de elektriciteitsleer en bij de netwerktheorieën. Men heeft het over elektrische "stromen" die zoals een vloeistof van een hoger naar een lager niveau stromen. Sinds de ontdekking van de elektronen weet men dat dit model ook een fysische basis heeft. De elektronen vloeien echter niet van plus naar min zoals men vroeger dacht, maar van min naar plus. In de zogenaamde Firestone-analogie die het meest in de ingenieurswereld gebruikt wordt, beschouwt men de krachten ook als stromen. De evenwichtsvoorwaarden uit de statica vertonen een grote gelijkenis met het continuïteitsprincipe uit de stromingsleer. Dit zou er op kunnen wijzen dat krachten in wezen ook transportverschijnselen zijn waarbij stromen van deeltjes een rol spelen. Dit brengt ons bij het standaardmodel en de krachtdeeltjes uit de kwantummechanica. Hierbij blijken symmetrieën, in het bijzonder ijksymmetrieën, een belangrijke rol te spelen.

Bernard D.H. Tellegen was een Nederlands ingenieur die leefde van 1900 tot 1990 en bij Philips werkte. Voor het (zeer eenvoudig) bewijs van de stelling van Tellegen en van een groot aantal gerelateerde stellingen verwijzen we naar: P. Penfield, R. Spence and S. Duinker, Tellegen’s Theorem and Electrical Networks, Research Monograph No. 58, The M.I.T Press, Cambridge Massachusetts, 1970. Er werd reeds gewezen op de analogie tussen de stelling van Tellegen en de stelling der virtuele arbeid die een grote rol speelt in de mechanica en sterkteleer. De stelling van Tellegen blijkt ook afgeleid te kunnen worden voor o.m. elektromagnetische velden en golffuncties uit de kwantummechanica.

08.07.98

02.11.02